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Stellenwertsysteme

Zahlenwerte sind unsichtbare Größen, die durch Zahlen bzw. Zahlenzeichen sichtbar dargestellt werden können. Die kleinste Einheit, das Zahlenelement, einer Zahl ist die Ziffer. In allen Zahlensystemen können die natürlichen Zahlen bis zur oberen Grenze des Zahlensystems einstellig dargestellt werden. Dabei steht jeweils eine Ziffer als Zahl für einen Zahlenwert. Darüber hinaus, wenn zwei, drei oder mehr Ziffern zur Darstellung einer Zahl notwendig werden, muss das Stellenwertsystem bekannt sein, in dem die Zahl dargestellt ist. Das Zahlenbild "1001" (eins, null, null, eins) bedeutet beispielsweise im Zehnersystem tausend und eins. Dasselbe Zahlenbild, "1001", stellt im Dual-system den Zahlenwert neun dar, und schließlich stellt dieselbe Ziffernfolge bzw. die selbe Zahlenelementfolge "1001", im Hexadezimalsystem den Zahlenwert viertausend und siebenundneunzig dar.

Das bekannteste Stellenwertsystem ist das Dezimal- bzw. das Zehnersystem. Es besteht aus zehn Zahlenzeichen bzw. Ziffern, 0 (null) bis 9 (neun), dem Komma bzw. der Kommastelle und den benachbarten Zehner- bzw. Zehntelstellen. Dementsprechend hat im Dezimalsystem jede links stehende Stelle gegenüber ihrer rechts stehenden Stelle den zehnfachen Wert; umgekehrt hat jede rechts stehende Stelle gegenüber ihrer links stehenden Stelle nur ein Zehntel des Wertes. Dies gilt gleichermaßen vor und nach dem Komma.

Neben dem Dezimalsystem sind drei weitere Stellenwertsysteme von Bedeutung: das Dual- oder Binärsystem, das Oktalsystem und das Hexadezimalsystem. Ohne diese, insbesondere ohne das Dualsystem wäre die Computertechnik unserer Tage nur schwer vorstellbar.

Wie kommen die Stellenwertsysteme zustande? Können diese methodisch mittels mathematischer Algorithmen hergeleitet werden?

Eine solche Möglichkeit ist folgende:

Für n = Element der natürlichen Zahlen, n>=2 und x=0,1,2,3,...., unendlich, wird der ganzzahlige Rest für den Quotient (n+x) / n ermittelt. Dabei zeigt es sich, dass mit steigendem x die Ziffernfolge des ganzzahligen Restes periodisch auftritt. Das Besondere daran ist, dass für n=2 der periodische Rest 0 und 1 ist. Für n=3 beträgt der Rest periodisch 0,1 und 2, für n=4 ist der periodisch auftretende Rest 0,1, 2 und 3, für n=z beträgt die Ziffernfolge des Restes 0, 1, 2,...., (z-1). Somit stellt eine Periode des periodisch auftretenden ganzzahligen Restverlaufes jeweils ein Stellenwertsystem, beginnend mit dem Dualsystem, dar.

Für das Hexadezimalsystem werden Ziffern die größer sind als 9 mit großen Buchstaben des lateinischen Alphabets dargestellt.

Es wurden:
für den Zahlenwert "10" der Buchstabe A
für den Zahlenwert "11" der Buchstabe B
für den Zahlenwert "12" der Buchstabe C
für den Zahlenwert "13" der Buchstabe D
für den Zahlenwert "14" der Buchstabe E und
für den Zahlenwert "15" der Buchstabe F vereinbart.

Dieses relativ übersichtliche System könnte mit mehr oder weniger Erfolg mit dem gesamten lateinischen Alphabet weitergeführt werden. Darüber hinaus stieße es an Grenzen und es müssten zweckmäßigerweise Kombinationen von Ziffern und einem für sonst nichts anderes verwendeten Sonderzeichen vereinbart werden.

Tabelle für einige Stellenwertsysteme, aus dem Quotienten Z/N=(n+x)/n

Z \ N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...... 16
2 0 _ _ _ _ _ _ _ _ ...... _
3 1 0 _ _ _ _ _ _ _ ...... _
4 0 1 0 _ _ _ _ _ _ ...... _
5 1 2 1 0 _ _ _ _ _ ...... _
6 0 0 2 1 0 _ _ _ _ ...... _
7 1 1 3 2 1 0 _ _ _ ...... _
8 0 2 0 3 2 1 0 _ _ ...... _
9 1 0 1 4 3 2 1 0 _ ...... _
10 0 1 2 0 4 3 2 1 0 ...... _
11 1 2 3 1 5 4 3 2 1 ...... _
12 0 0 0 2 0 5 4 3 2 ...... _
13 1 1 1 3 1 6 5 4 3 ...... _
14 0 2 2 4 2 0 6 5 4 ...... _
15 1 0 3 0 3 1 7 6 5 ...... _
16 0 1 0 1 4 2 0 7 6 ...... 0
17 1 2 1 2 5 3 1 8 7 ...... 1
18 0 0 2 3 0 4 2 0 8 ...... 2
19 1 1 3 4 1 5 3 1 9 ...... 3
20 0 2 0 0 2 6 4 2 0 ...... 4
21 1 0 1 1 3 0 5 3 1 ...... 5
22 0 1 2 2 4 1 6 4 2 ...... 6
23 1 2 3 3 5 2 7 5 3 ...... 7
24 0 0 0 4 0 3 0 6 4 ...... 8
25 1 1 1 0 1 4 1 7 5 ...... 9
26 0 2 2 1 2 5 2 8 6 ...... A
27 1 0 3 2 3 6 3 0 7 ...... B
28 0 1 0 3 4 0 4 1 8 ...... C
29 1 2 1 4 5 1 5 2 9 ...... D
30 0 0 2 0 0 2 6 3 0 ...... E
31 1 1 3 1 1 3 7 4 1 ...... F
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